Uz pomoć brojevne kružnice riješimo jednadžbu: sinx = - 1 2. Rješenje. Riješimo zadatak uz pomoć brojevne kružnice. S obzirom na to da vrijednost sinusa čitamo na osi ordinata, ovaj zadatak možemo svesti na traženje presjeka brojevne kružnice s pravcem: y = - 1 2. Rješenja iz grafičkog prikaza jesu: x1 = 7π 6 i x2 = 11π 6. Rozwiązanie zadania z matematyki: Oblicz wartość wyrażenia tg ^2α-3cos ^2α, jeżeli sin α=frac{√{3}}{2} i α jest kątem ostrym., Wartość wyrażenia, 3586841 Egységkör: sin, cos, tg, ctg. Új anyagok. Rezgések és hullámok; Bicentrikus négyszögek 10_02; Leképezés domború gömbtükörrel cos cos tg D D r D cos cos ctg (4) ТРАНСФОРМАЦИЈА ЗБИРА И РАЗЛИКЕ У ПРОИЗВОД D E D E sin D sin E sin cos D E D E sinD sinE cos sin D E D E cosD cosE cos cos D E D E cosD cosE sin sin (5)ТРАНСФОРМАЦИЈА ПРОИЗВОДА У ЗБИР И РАЗЛИКУ D E D E sin Dsin E cos cos D E D E cosDcosE Các hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ chiều dài các cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông. Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau: Dịch Vụ Hỗ Trợ Vay Tiền Nhanh 1s. Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi równanie: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \] Wyjaśnienie sposobu zapisu Wyrażenie \(\sin^{2} \alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^{2} \alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^{2} \alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\). Analogicznie interpretujemy \(\cos^{2} \alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych. Wzory na tangens i cotangens. Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory: \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\) \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) \(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku). Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{oraz}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\] Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych. Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\] Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\] Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\). Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( \(\cos \alpha \) ): \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\] Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów: \(\alpha \) \(0^\circ \) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(90^\circ \) \(\sin \alpha \) \(0\) \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \(1\) \(\cos \alpha \) \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \(0\) \(\operatorname{tg} \alpha \) \(0\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] nie istnieje \(\operatorname{ctg} \alpha \) nie istnieje \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(0\) Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych: \(\alpha \) \(15^\circ \) \(18^\circ \) \(22^\circ 30'\) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(75^\circ \) \(\sin \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{5}-1}{4}\] \[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \(\cos \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\] \[\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \(\operatorname{tg} \alpha \) \[2-\sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\] \[\sqrt{2}-1\] \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] \[2+\sqrt{3}\] \(\operatorname{ctg} \alpha \) \[2+\sqrt{3}\] \[\sqrt{5+2\sqrt{5}}\] \[\sqrt{2}+1\] \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \[2-\sqrt{3}\] Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów ostrych: α sin α cos α tg α ctg α 0°010nie istnieje1° istnieje0 MATERIAŁ MATURALNY > funkcje trygonometryczne TABLICE WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Wartości funkcji trygonometrycznych, dla różnych miar kątów, można odczytać z tablicy: Tablica Z tablic możemy korzystać w dwóch celach:1) Możemy odczytać wartość danej funkcji, dla danego wartość tangensa kąta o mierze .Dla podanego kąta i funkcji, odczytujemy wartość: Możemy więc zapisać, że tangens wynosi 0,2679: 2) Możemy odczytać, z jakim kątem mamy do czynienia, mając podaną wartość danej miarę kąta, którego cosinus wynosi 0, podanego kąta i funkcji odczytujemy wartość. Szukamy w kolumnie funkcji cosinus podanej wartości (0,6023), a jeżeli nie ma jej w tabeli, szukamy wartości najbliższej do danej (dla naszego przykładu będzie to wartość 0,6018): Kąt ma więc w przybliżeniu miarę . Funkcje trygonometryczne i ich wartości odczytywane z tabeli, wykorzystujemy do obliczania długości poszczególnych boków lub miary kątów ostrych w trójkącie 1. Oblicz długość nieznanej przyprostokątnej trójkąta: Rozwiązanie:Mamy podaną długość tylko jednego boku. Nie możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ znamy miary kątów trójkąta, możemy wykorzystać funkcje trygonometryczne. Oczywiście mamy do wyboru aż dwa kąty i do każdego po cztery funkcje. Nie ze wszystkich funkcji możemy tu jednak było możliwe obliczenie jakiejś długości z danej funkcji, stosunek boków jaki otrzymamy musi zawierać bok, jaki chcemy obliczyć i bok który mamy. Z tego powodu nie możemy na przykład skorzystać z sinusa kąta , który jest równy stosunkowi boku „b” przez bok „c”.Skorzystamy z funkcji tangens kąta , bo zawierać będzie boki a i b : Przykład miary kątów trójkąta: Rozwiązanie:Tu także musimy wybrać odpowiednią obliczyć miarę danego kąta, wybieramy taką funkcję, aby oba boki jakie pojawią się w stosunku były od kąta . Znane boki, to dla tego kąta: przyprostokątna położona dalej (a), oraz przeciwprostokątna (c). Skorzystamy więc z funkcji sinus:

tablica trygonometryczna sin cos tg ctg